Vektoren multiplizieren

Wir werden drei Wege zur Multiplikation der Vektoren betrachten. Zuerst betrachten wir die skalare Multiplikation von Vektoren. Dann werden wir uns zwei Vektoren multiplizieren. Wir lernen zwei verschiedene Arten, Vektoren zu multiplizieren, indem wir das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt verwenden.

Vektoren mit einem Skalar multiplizieren

Wenn Sie einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren, wird jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert.

Angenommen, wir haben einen Vektor , das ist mit dem Skalar zu multiplizieren . Dann wird das Produkt zwischen dem Vektor und dem Skalar als geschrieben . Ob , dann würde die Multiplikation die Länge von erhöhen um einen Faktor . Ob , dann zusätzlich zur Vergrößerung von um einen Faktor , die Richtung des Vektors würde auch umgekehrt werden.

In Bezug auf Vektorkomponenten wird jede Komponente mit dem Skalar multipliziert. Zum Beispiel, wenn ein Vektor , dann .

Beispiel

Der Impulsvektor eines Objekts ist gegeben durch , woher ist die Masse des Objekts und ist der Geschwindigkeitsvektor. Für ein Objekt mit einer Masse von 2 kg mit einer Geschwindigkeit von Frau^-1, Finden Sie den Impulsvektor.

Der Schwung ist kg m s^-1.

So finden Sie das Skalarprodukt zweier Vektoren

Das Skalar Produkt (auch bekannt als Skalarprodukt) Zwischen zwei Vektoren und wird als geschrieben . Dies ist definiert als,

woher ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren, wenn sie wie unten gezeigt Schwanz an Schwanz platziert werden:

Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren ergibt eine Skalargröße. Geometrisch ist diese Größe gleich dem Produkt aus der Größe der Projektion eines Vektors auf den anderen und der Größe des Vektors "anderer":

Unter Verwendung der Vektorkomponenten entlang der kartesischen Ebene könnten wir das Skalarprodukt wie folgt erhalten. Wenn der Vektor und , dann das Skalarprodukt

Beispiel

Vektor und . Finden .

Beispiel

Die Arbeit erledigt durch eine Kraft , wenn es eine Verschiebung verursacht denn ein Objekt ist gegeben durch, . Angenommen, eine Kraft von N bewirkt, dass sich ein Körper bewegt, dessen Verschiebung unter der Kraft liegt m. Finden Sie die Arbeit, die die Truppe erledigt hat.

Beispiel

Finde den Winkel zwischen den beiden Vektoren und .

Aus der Definition des Skalarprodukts, . Hier haben wir und .

Dann,

Sind zwei Vektoren senkrecht zueinander, dann der Winkel zwischen ihnen ist 90^O. In diesem Fall, Das Skalarprodukt wird also zu 0. Insbesondere gilt für Einheitsvektoren im kartesischen Koordinatensystem,

Bei parallelen Vektoren der Winkel dazwischen ist 0^O. In diesem Fall, und das Skalarprodukt wird einfach zu den Produkten der Größen der Vektoren. Im Speziellen,

Das Skalarprodukt ist kommutativ. d.h.. .

Das Skalarprodukt ist ebenfalls distributiv. d.h.. .

So finden Sie das Kreuzprodukt zweier Vektoren

Das Kreuz Produkt (auch bekannt als Vektorprodukt) Zwischen zwei Vektoren und wird als geschrieben . Dies ist definiert als,

Das Vektorprodukt oder das Kreuzprodukt liefert im Gegensatz zum Skalarprodukt einen Vektor als Antwort. Die obige Formel gibt die Größe des Vektors an. Um das zu bekommen Richtung Stellen Sie sich vor, Sie drehen einen Schraubendreher aus der Richtung des ersten Vektors in Richtung des zweiten Vektors. Die Richtung, in die der Schraubendreher „hineingeht“, ist die Richtung des Vektorprodukts.