Differenz zwischen Differenzgleichung und Differenzialgleichung

Differenzgleichung vs. Differentialgleichung

Ein natürliches Phänomen kann mathematisch durch Funktionen einer Anzahl unabhängiger Variablen und Parameter beschrieben werden. Insbesondere wenn sie durch eine Funktion von räumlicher Position und Zeit ausgedrückt werden, führt dies zu Gleichungen. Die Funktion kann sich mit der Änderung der unabhängigen Variablen oder der Parameter ändern. Eine infinitesimale Änderung in der Funktion, wenn eine ihrer Variablen geändert wird, wird als Ableitung dieser Funktion bezeichnet.

Eine Differentialgleichung ist jede Gleichung, die Ableitungen einer Funktion sowie die Funktion selbst enthält. Eine einfache Differentialgleichung ist die des Newtonschen zweiten Bewegungsgesetzes. Wenn sich ein Objekt der Masse m mit der Beschleunigung "a" bewegt und mit der Kraft F beaufschlagt wird, sagt uns das zweite Newtonsche Gesetz, dass F = ma ist. Auch hier variiert 'a' mit der Zeit, wir können 'a' umschreiben als; a = dv / dt; v ist Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit ist eine Funktion von Raum und Zeit, dh v = ds / dt; daher 'a' = d²s / dt².

Wenn wir dies berücksichtigen, können wir Newtons zweiten Satz als Differentialgleichung umschreiben.

'F' als Funktion von v und t - F (v, t) = mdv / dt oder

'F' als Funktion von s und t - F (s, ds / dt, t) = m d²s / dt²

Es gibt zwei Arten von Differentialgleichungen. gewöhnliche Differentialgleichung, abgekürzt mit ODE oder partielle Differentialgleichung, abgekürzt mit PDE. Gewöhnliche Differentialgleichungen enthalten gewöhnliche Ableitungen (Ableitungen von nur einer Variablen). Die partielle Differentialgleichung enthält differentielle Ableitungen (Ableitungen von mehr als einer Variablen).

z.B. F = m d²s / dt² ist eine ODE, während α² d²u / dx² = du / dt ist eine PDE, sie hat Ableitungen von t und x.

Die Differenzgleichung ist dieselbe wie die Differentialgleichung, aber wir betrachten sie in einem anderen Kontext. In Differentialgleichungen wird die unabhängige Variable wie die Zeit im Kontext eines kontinuierlichen Zeitsystems betrachtet. Im zeitdiskreten System bezeichnen wir die Funktion als Differenzgleichung.

Die Differenzgleichung ist eine Funktion der Unterschiede. Bei den unabhängigen Variablen gibt es drei Arten von Unterschieden. Zahlenfolge, diskretes dynamisches System und iterierte Funktion.

In Zahlenreihen wird die Änderung rekursiv erzeugt, indem eine Regel verwendet wird, um jede Zahl in der Folge mit vorherigen Zahlen in der Folge in Beziehung zu setzen.

Die Differenzgleichung in einem diskreten dynamischen System nimmt ein diskretes Eingangssignal und erzeugt ein Ausgangssignal.

Die Differenzgleichung ist eine iterierte Karte für die iterierte Funktion. E., y₀, f (y₀), f (f (y₀)), f (f (f (y₀))),… .Ist die Reihenfolge einer iterierten Funktion. Das f (y₀) ist die erste Iteration von y₀. Die k-te Iteration wird mit f bezeichnet^k(y₀).