Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion und der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion vs. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Diese Idee ist sehr verbreitet und wird im Alltag häufig verwendet, wenn wir unsere Chancen, Transaktionen und viele andere Dinge bewerten. Die Erweiterung dieses einfachen Konzepts auf eine größere Anzahl von Ereignissen ist etwas schwieriger. Zum Beispiel können wir die Gewinnchancen für eine Lotterie nicht leicht herausfinden, aber es ist bequem und eher intuitiv zu sagen, dass es wahrscheinlich ist, dass jeder Sechste die Nummer sechs in einem Würfel bekommt.

Wenn die Anzahl der Ereignisse, die stattfinden können, größer wird oder die Anzahl der individuellen Möglichkeiten groß ist, versagt diese ziemlich einfache Vorstellung von der Wahrscheinlichkeit. Daher muss eine solide mathematische Definition gegeben werden, bevor Probleme mit höherer Komplexität angegangen werden.

Wenn die Anzahl der Ereignisse, die in einer einzigen Situation stattfinden können, groß ist, ist es unmöglich, jedes Ereignis einzeln zu betrachten, wie im Fall des Würfels. Daher wird der gesamte Satz von Ereignissen durch Einführung des Konzepts der Zufallsvariablen zusammengefasst. Es ist eine Variable, die die Werte verschiedener Ereignisse in dieser speziellen Situation (oder im Beispielraum) annehmen kann. Es gibt einen mathematischen Sinn für einfache Ereignisse in der Situation und eine mathematische Art und Weise, auf das Ereignis einzugehen. Genauer gesagt ist eine Zufallsvariable eine reale Wertefunktion über den Elementen des Probenraums. Die Zufallsvariablen können entweder diskret oder kontinuierlich sein. Sie werden normalerweise durch die Großbuchstaben des englischen Alphabets gekennzeichnet.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion (oder einfach die Wahrscheinlichkeitsverteilung) ist eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeitswerte für jedes Ereignis zuweist. d.h. sie stellt eine Beziehung zu den Wahrscheinlichkeiten für die Werte bereit, die die Zufallsvariable annehmen kann. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion ist für diskrete Zufallsvariablen definiert.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist das Äquivalent der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion für die kontinuierlichen Zufallsvariablen und gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine bestimmte Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt.

Ob X ist eine diskrete Zufallsvariable, deren Funktion als angegeben wird f(x) = P(X = x) für jeden x im Bereich von X wird als Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion bezeichnet. Eine Funktion kann genau dann als Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion dienen, wenn die Funktion die folgenden Bedingungen erfüllt.

1. f(x) ≥ 0

2. ∑ f(x) = 1

Eine Funktion f(x), das über die Menge der reellen Zahlen definiert wird, wird als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der kontinuierlichen Zufallsvariablen bezeichnet X, dann und nur dann, wenn,

P(ein ≤ x ≤ b) = _ein∫^b f(x) dx für irgendwelche echten Konstanten ein und b.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion sollte auch die folgenden Bedingungen erfüllen.

1. f(x) ≥ 0 für alle x: -∞ < x < +∞

2. _-∞∫^+∞ f(x) dx = 1

Sowohl die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion als auch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion werden verwendet, um die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten über den Abtastraum darzustellen. Diese werden üblicherweise Wahrscheinlichkeitsverteilungen genannt.

Für die statistische Modellierung werden Standardwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen abgeleitet. Die Normalverteilung und die Standardnormalverteilung sind Beispiele für die kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Binomialverteilung und Poissonverteilung sind Beispiele für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Was ist der Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeitsverteilung und der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion?

• Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion sind Funktionen, die über den Probenraum definiert werden, um jedem Element den relevanten Wahrscheinlichkeitswert zuzuordnen.

• Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen sind für die diskreten Zufallsvariablen definiert, während Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen für die kontinuierlichen Zufallsvariablen definiert sind.

• Die Verteilung von Wahrscheinlichkeitswerten (d. H. Wahrscheinlichkeitsverteilungen) wird am besten durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion dargestellt.

• Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion kann als Werte in einer Tabelle dargestellt werden. Dies ist jedoch für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion nicht möglich, da die Variable stetig ist.

• Beim Plotten ergibt die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion ein Balkendiagramm, während die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion eine Kurve ergibt.

• Die Höhe / Länge der Balken der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion muss sich zu 1 addieren, während sich die Fläche unter der Kurve der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion auf 1 addieren muss.

• In beiden Fällen müssen alle Werte der Funktion nicht negativ sein.