Unterschied zwischen Fourier-Serie und Fourier-Transformation

Fourier-Serie gegen Fourier-Transformation

Fourierreihen zerlegen eine periodische Funktion in eine Summe von Sinus und Cosinus mit unterschiedlichen Frequenzen und Amplituden. Die Fourier-Serie ist ein Zweig der Fourier-Analyse und wurde von Joseph Fourier eingeführt. Die Fourier-Transformation ist eine mathematische Operation, bei der ein Signal in seine konstituierenden Frequenzen zerlegt wird. Das ursprüngliche Signal, das sich im Laufe der Zeit geändert hat, wird als Zeitdomänendarstellung des Signals bezeichnet. Die Fourier-Transformation wird als Frequenzdomänendarstellung eines Signals bezeichnet, da sie von der Frequenz abhängt. Sowohl die Frequenzbereichsdarstellung eines Signals als auch der Prozess, der zum Transformieren dieses Signals in den Frequenzbereich verwendet wird, werden als Fourier-Transformation bezeichnet.

Was ist die Fourier-Serie??

Wie bereits erwähnt, ist die Fourier-Reihe eine Erweiterung einer periodischen Funktion unter Verwendung einer unendlichen Summe von Sinus und Cosinus. Die Fourier-Reihe wurde ursprünglich beim Lösen von Wärmegleichungen entwickelt. Später stellte sich jedoch heraus, dass mit derselben Technik eine große Anzahl mathematischer Probleme gelöst werden kann, insbesondere die Probleme, die lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beinhalten. Mittlerweile hat die Fourier-Reihe Anwendungen in zahlreichen Bereichen, darunter Elektrotechnik, Schwingungsanalyse, Akustik, Optik, Signalverarbeitung, Bildverarbeitung, Quantenmechanik und Ökonometrie. Fourierreihen verwenden die Orthogonalitätsbeziehungen von Sinus- und Cosinusfunktionen. Die Berechnung und das Studium der Fourier-Reihe wird als harmonische Analyse bezeichnet und ist beim Arbeiten mit willkürlichen periodischen Funktionen sehr nützlich, da sie es ermöglicht, die Funktion in einfache Begriffe zu unterteilen, die zur Lösung des ursprünglichen Problems verwendet werden können.

Was ist die Fourier-Transformation??

Die Fourier-Transformation definiert eine Beziehung zwischen einem Signal im Zeitbereich und seiner Darstellung im Frequenzbereich. Die Fourier-Transformation zerlegt eine Funktion in Schwingungsfunktionen. Da es sich um eine Transformation handelt, kann das ursprüngliche Signal durch Kenntnis der Transformation erhalten werden, so dass keine Informationen im Prozess erzeugt werden oder verloren gehen. Das Studium der Fourier-Reihen liefert tatsächlich Motivation für die Fourier-Transformation. Aufgrund der Eigenschaften von Sinus und Cosinus ist es möglich, den Betrag jeder Welle unter Verwendung eines Integrals zur Summe beizutragen. Die Fourier-Transformation hat einige grundlegende Eigenschaften wie Linearität, Translation, Modulation, Skalierung, Konjugation, Dualität und Faltung. Die Fourier-Transformation wird beim Lösen von Differentialgleichungen angewendet, da die Fourier-Transformation eng mit der Laplace-Transformation zusammenhängt. Die Fourier-Transformation wird auch in der Kernspinresonanz (NMR) und in anderen Arten der Spektroskopie verwendet.

Unterschied zwischen Fourier-Serie und Fourier-Transformation

Die Fourier-Reihe ist eine Erweiterung eines periodischen Signals als lineare Kombination von Sinus- und Cosinus-Signal, während die Fourier-Transformation der Prozess oder die Funktion ist, die zum Konvertieren von Signalen vom Zeitbereich in den Frequenzbereich verwendet wird. Die Fourier-Reihe ist für periodische Signale definiert und die Fourier-Transformation kann auf aperiodische (ohne Periodizität auftretende) Signale angewendet werden. Wie bereits erwähnt, liefert die Studie der Fourier-Reihen tatsächlich Motivation für die Fourier-Transformation.